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By Gert Böhme (auth.)

ISBN-10: 3540104925

ISBN-13: 9783540104926

ISBN-10: 3642966136

ISBN-13: 9783642966132

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Offenbar ist xRy gleichbedeutend mit (x,y) ER. Umgekehrt heiBt (x,y) ~ R, daB x nicht in der Beziehung R zu y steht. 2. A heiBt in diesem Zusammenhang Quellmenge, B Zielmenge der Relation R. 3. Die Menge V R aller 1. Koordinaten ("Vorderglieder") von R heiBt Vorbereich der Relation VR = I x Ix E A " xRy I, V RCA xEV R ~ V (x,y) ER yEB Bei V R = A spricht man von "Deckung im Vorbereich" oder "Linkstotalitat" • 4. Die Menge NR aller 2. Koordinaten ("Hinterglieder") von R heiBt Nachbereich der Relation N R = Iy lyE B " xRy I, NRc B yEN R ~ V (x,y) ER xEA Bei NR = B spricht man von "Deckung im Nachbereich" oder "Rechtstotalitat".

Indes hiite sich der Leser davor, eine Relation durch eine solche Vorschrift allein als mathematisch exakt gegeben zu betrachten. Die Angabe der Grundmengen ist wesentlich! So ist die Relation "xly" (x ist Teiler von y) auf IN eine Ordnungsrelation: Reflexivitiit: 1\ xix x EIN Transitivitiit: 1\ /\ /\ [x Iy /\ Y Iz =0 X IzJ xEIN yEIN zEIN j. B. ist fUr 5E Z, -5 E £:: -515/\ 51-5 aber 5 *-5 das heiBt, auf ~£ ist die Relation "x 1y" keine Ordnungsrelation mehr! Zwischen beiden Typen von Ordnungsrelationen besteht ein einfacher Zusammenhang, der in folgendem Satz zum Ausdruck kommt.

Satz Jede strenge Ordnungsrelation R I laBt sich in eindeutiger Weise in eine Ordnungs- relation R umwandeln, und umgekehrt kann man aus jeder Ordnungsrelation eindeutig eine strenge Ordnungsrelation gewinnen. Beweis: 1. Teil. Sei R I eine strenge Ordnungsrelation auf M und bezeichne 1M die "Identitatsrelation" auf M: Dann bilde man die Vereinigungsmenge R ist dann sicher reflexiv (da 1M c R) und identitiv, also eine Ordnungsrelation auf M. 2. Teil. Sei Reine Ordnungsrelation auf M, so entziehe man R die identischen Paare gemaB und erhalt damit in R I eine asymmetrische (und nicht-reflexive) Relation.

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Algebra by Gert Böhme (auth.)

by Thomas

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